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(UM SP) Sejam os pontos A(2, 3), B(3, 4), C(4, 6), D(2, 4), E(3, 8) e F(k, 1). Se os triângulos ABC e DEF têm a mesma área, então um dos valores de k é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4


RESOLVENDO

. Para calcular a área de um triângulo no plano cartesiano, basta a gente calcular determinante com os pontos deste triângulo.
Portanto, a área do ABC fica da seguinte forma:
\( D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 4 & 6 & 1 \end{vmatrix} \)
Como você pode perceber, montamos a matriz da seguinte forma: Em cada linha colocamos as coordenadas dos pontos. Na 1° colocamos do ponto A, na 2° do B e na 3° os do ponto C. Depois só completamos com 1. Agora calculamos o determinante.
Para facilitar o calculo do determinante de uma matriz e ordem 3, repetimos a 1° e 2° pois só podemos multiplicar de 3 em 3.
\( D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 4 & 6 & 1 \end{vmatrix} \left. \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 6 \end{matrix}\right| \\\\\\ D = (2 \cdot 4 \cdot 1) + (3 \cdot 1 \cdot 4) + (1 \cdot 3 \cdot 6) - (1 \cdot 4 \cdot 4) - (2 \cdot 1 \cdot 6) - (3 \cdot 3 \cdot 1) \\\\ D = 8+12+18-16-12-9 \\\\ D = 38-37 \\\\ D = 1 \)
Então, a área será:
\( A = \frac{|D|}{2} \\\\ \boxed{A = \frac{1}{2}} \)
Agora, faremos a mesma coisa com o triângulo DEF, igualando o determinante a 1, pois só assim os dois terão as áreas iguais. Assim achamos o valor de K.
\( D = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ k & 1 & 1 \end{vmatrix} \\\\\\ D = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ k & 1 & 1 \end{vmatrix}\left. \begin{matrix} 2 & 4 \\ 3 & 8 \\ k & 1 \end{matrix}\right| \\\\\\ D = (2 \cdot 8 \cdot 1) + (4 \cdot 1 \cdot k) + (1 \cdot 3 \cdot 1) - (1 \cdot 8 \cdot k) - (2 \cdot 1 \cdot 1) - (4 \cdot 3 \cdot 1) \\\\ 16+4k + 3 - 8k-2-12 = 1 \\\\ 4k-8k = 1-16-3+2+12 \\\\ -4k = -4 \\\\ k = \frac{-4}{-4} \\\\ \boxed{\boxed{K = 1}} \)
Este deve ser o valor de K.
\( \boxed{\text{Alternativa B}} \)

ABC =
2 3 1 2 3 = 8+12+18 - 16 - 12 - 9 =
3 4 1 3 4 38 - 37
4 6 1 4 6 1
DEF:
2 4 1 2 4 = 16+4k+3 - 8k-2-12 = 1
3 8 1 3 8 19 - 4k -14 = 1
k 1 1 k 1 5 - 4k = 1
-4k = 4
k = 1
letra B



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