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Sejam A, B e C conjuntos. Prove que A intersecção com B união C =A intersecção com B união A intersecção com C



RESOLVENDO

A ∩ B U C = A ∩ B U A ∩ C

A = { 2, 4, 10 }, B = { 2, 4, 6 } e C = { 2, 6, 10}

A ∩ B = { 2, 4 } U C = { 2, 4, 6, 10 }

A ∩ B = { 2, 4 } U A = { 2, 4, 10} ∩ C = { 2, 4, 6, 10}

Com esses elementos, a afirmação é verdadeira.

Ou seja, todos os conjuntos precisam ter algum elemento em comum com os outros conjuntos.

Marivalda.

\( \text{Seja }x \in A \bigcap (B \bigcup C) \\\\ \Rightarrow x \in A\ e\ (x\in B\ ou\ x\in C) \\\\ \Rightarrow \text{Temos 2 possibilidades equivalentes:}\begin{cases} x\in A\ e\ x\in B\text{, ou}\\x\in A\ e\ x\in C\end{cases} \\\\ \Rightarrow (x \in A\ e\ x\in B)\ ou\ (x \in A\ e\ x\in C) \\\\ \Rightarrow (x \in A \bigcap B)\ ou\ (x \in A\bigcap C) \\\\ \Rightarrow x \in (A \bigcap B) \bigcup (A\bigcap C) \)

\( \text{Seja }x \in (A \bigcap B) \bigcup (A\bigcap C) \\\\ \Rightarrow (x \in A\ e\ x\in B)\ ou\ (x \in A\ e\ x\in C) \\\\ \Rightarrow \text{Temos 2 possibilidades equivalentes:}\\\\\begin{cases} se\ x\in A\ e\ x\in B\Rightarrow x \in A\ e\ x\in (B\bigcup C) \\se\ x\in A\ e\ x\in C\Rightarrow x \in A\ e\ x\in (B\bigcup C) \end{cases} \\\\ \Rightarrow \text{em ambas as possibilidades, temos como resultado: }\\x\in A\ e\ x\in (B\bigcup C) \\\\ \Rightarrow x \in A \bigcap (B \bigcup C) \)

\( \therefore \text{Como }\forall x \in A \bigcap (B \bigcup C) \Rightarrow x \in (A \bigcap B) \bigcup (A\bigcap C)\text{ e }\\\\ \forall x \in (A \bigcap B) \bigcup (A\bigcap C) \Rightarrow x \in A \bigcap (B \bigcup C), \\\\ \text{temos que: }A \bigcap (B \bigcup C)=(A \bigcap B) \bigcup (A\bigcap C) \)



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