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Sabe-se que tres numeros inteiros estaõ em P. A. Se esses numeros tem por soma 24 e por pproduto 120 calcule os tres numeros.



RESOLVENDO

Marília.

Se os três números formam uma PA, então eles podem ser escritos da seguinte forma:

\( {n, n+r, n+2r} \)

Temos o valor da soma e do produto destes números:

\( n+n+r+n+2r=24 \Rightarrow 3n+3r=24 \Rightarrow n+r=8\\\\ n(n+r)(n+2r)=120 \Rightarrow n\underbrace{(n+r)}_{=8}(\underbrace{n+r}_{=8}+r)=\\ n \cdot 8 \cdot (8+r)=120 \Rightarrow n(r+8)=15 \Rightarrow n=\frac{15}{r+8} \)

Substituindo este último valor na primeira equação temos:

\( \frac{15}{r+8}+r=8 \Rightarrow 15+r^2+8r=8r+64 \Rightarrow r^2-49=0 \Rightarrow r^2=49 \\\\ \Rightarrow r_1=7\ ou\ r_2=-7 \)

Substituindo os valores de r na primeira equação obtemos:

\( n+r=8 \Rightarrow \begin{cases} n_1+r_1=n_1-7=8 \Rightarrow n_1=15\\n_2+r_2=n_2+7=8 \Rightarrow n_2=1 \end{cases} \)

Temos, portanto, duas sequencias possíveis de três números que satisfazem as condições do enunciado:

\( \boxed{\{n_1, n_1+r_1, n_1+2r_1\}=\{15,8,1\}}\ ou\\\\ \boxed{\{n_2, n_2+r_2, n_2+2r_2\}=\{1,8,15\}} \)

Os números, observe, são iguais. Altera-se, apenas, nas sequências, a sua ordem.

Os números são, portanto, 1, 8 e 15.

Sendo PA de 3 elementos convém ( X-r, X, X+r )

como a soma dá 24

X-r + X + X+r = 24

X + X + X = 24

3X = 24

X = 8

Agora vamos para o produto

(X-r )( X) ( X+r) = 120. tem um produto da soma pela diferença = diferença de quadrados

X ( X^2 - r^2) = 120 substituindo X por 8

8 ( 8^2 - r^2) = 120

8^2 - r^2 = 120/8

64 - r^2 = 15

64 -15 = r^2

49 = r^2

+7 = r ou r = -7

Os números são ( 8-7, 8, 8+7 ) >>>>> ( 1, 8, 15 )



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