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existem numeros x e y tais que √x + √y = √x+y? Demonstre algebricamente.



RESOLVENDO

Esse problema me lembra o último teorema de Fermat onde \( x^a + y^b = z^c \) não tem solução para a, b, c inteiros maiores do que dois. Felizmente, nesse caso o expoente é 1/2 : P

Bem, podemos representar \( \sqrt[n]{a} \) como \( a^{1/n} \). Desse modo, o que estamos tentando provar é que:

\( x^\frac{1}{2} + y^\frac{1}{2} = (x + y)^\frac{1}{2} \)

O que acha de aplicarmos logaritmo na base dez em ambos os lados?

\( logx^\frac{1}{2} + logy^\frac{1}{2} = log(x + y)^\frac{1}{2} \)

Pela propriedade do logaritmo, o expoente passa para trás do log, multiplicando:

\( \frac{1}{2}*log x + \frac{1}{2}*log y = \frac{1}{2}*log (x + y) \)

Pela propriedade da soma/produto:

\( \frac{1}{2}*log xy = \frac{1}{2}*log (x + y) \)

Por outra propriedade do logaritmo, log x = log y implica em x = y se estiverem nas mesmas bases. Portanto:

\( xy = (x + y) \)

\( xy - y = x \)

\( y(x - 1) = x \)

\( y = \frac{x}{x-1} \)



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