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Marcos fez cinco provas de matemática. Suas notas, em ordem crescentes, foram 75, 89, 84, 86 e 95. Ao digitar as notas de Marcos na ordem em que as provas foram realizadas, o professor notou que as médias das duas primeiras provas, das três primeiras, das quatro primeiras e das cinco provas eram números inteiros. Qual foi a nota que Marcos tirou na ultima prova? OBMEP 2013



RESOLVENDO

Sejam \( \text{n}_1 \) e \( \text{n}_2 \) as duas primeiras notas de Marcos.

Observe que, os valores das notas devem ser ambos pares, ou ambos ímpares.

Desse modo, uma possibilidade é \( (\text{n}_1, \text{n}_2)=(75, 95) \), cuja soma é \( 75+95=170 \).

Entretanto, se \( \text{n}_3 \) é a terceira nota, temos que \( \dfrac{\text{n}_1+\text{n}_2+\text{n}_3}{3} \) é inteiro. Porém, se \( (\text{n}_1, \text{n}_2)=(75, 95) \), não há possibilidades.

Desta maneira, excluímos a possibilidade \( (\text{n}_1, \text{n}_2)=(75, 95) \).

Como \( 80 \) e \( 86 \) são ambos pares, uma possibildade é \( (\text{n}_1, \text{n}_2)=(80, 86) \).

Depois diss, verificamos que \( \text{n}_3=95 \), de modo que, \( \dfrac{\text{n}_1+\text{n}_2+\text{n}_3}{3} \) seja inteiro.

Desse modo, há duas possibilidades para a quarta nota: \( 84 \) ou \( 75 \).

Se \( \text{n}_4=84 \), temos que \( \dfrac{\text{n}_1+\text{n}_2+\text{n}_3}+\text{n}_4}{4} \) não e inteiro.

Logo, podemos afirmar que, as notas de Marcos foram \( 80, 86, 95, 75, 84 \), nessa ordem e,

Portanto, a nota de Marcos na última prova foi \( 84 \).



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