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determine 3 números ímpares e consecutivos sabendo que seu produto é igual a sete vezes a sua soma.



RESOLVENDO

Foi.

A característica geral dos números ímpares é que são números consecutivos a um número par.

Portanto, a representação geral de um número ímpar é:

\( \text{Como }2n\text{ \’e par}, n\in\mathbb{N} \Rightarrow \boxed{2n+1\text{ \’e \’impar}} \)

Uma sequência de três números ímpares consecutivos é, portanto:

\( (2n+1,2n+3,2n+5) \)

O problema pede três números ímpares consecutivos tais que seu produto é igual a sete vezes a sua soma.

Portanto:

\( (2n+1)(2n+3)(2n+5)=7(2n+1+2n+3+2n+5) \Rightarrow \\\\ (4n^2+8n+3)(2n+5)=7(6n+9) \Rightarrow \\\\ 8n^3+36n^2+46n+15=42n+63 \Rightarrow \\\\ 8n^3+36n^2+4n-48=0 \Rightarrow \ (\div4)\\\\ 2n^3+9n^2+n-12=0 \Rightarrow \\\\ \)

Aplicando-se, agora o Teorema das Raízes Racionais, temos que:

Se \( \frac{p}{q} \) é raiz da equação polinomial \( a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+.+a_1x+a_0=0, \)

então:

\( p \) é divisor de \( a_0 \) e \( q \) é divisor de \( a_n. \)

No caso, para que \( 2n^3+9n^2+n-12=0 \) possua raízes racionais do tipo \( \frac{p}{q}, \) devemos ter:

(1) \( p \) divisor de 12, ou seja: \( p=\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12 \)

(2) \( q \) divisor de 2, ou seja: \( q=\pm1,\pm2 \)

Testando-se os valores possíveis de \( \frac{p}{q} \) na equação, verificamos que \( n=\frac{p}{q}=\frac{1}{1}=1 \) é uma solução desta equação.

Portanto, os três números ímpares consecutivos cujo produto é igual a sete vezes o valor de sua soma são:

\( (2n+1,2n+3,2n+5)=(2\cdot1+1,2\cdot1+3,2\cdot1+5)=\\\\ =\boxed{(3,5,7)} \)



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