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Polinômios
114) Dadas as funções polinomiais f(x)= (a-1)x² + bx+c e g(x)=2ax²+2bx-c, qual é a condição para que se tenha identidade de f(x)=G(x)
117) Qual o valor de a + b para que a expressão abaixo não dependa de x?
3x²+5x-8
ax²-10x+b


RESOLVENDO

114)
Para que f(x)=g(x) é necessário que:
a-1=2a -> 2a-a=-1   -> a=-1

b = 2b  -> b=0
c=-c -> c=0

117)
Para que: \( \frac{3x^2+5x-8}{ax^2-10x+b} \) seja uma constante k, temos:

\( \frac{3x^2+5x+8}{ax^2-10x+b}=k\\ \\ akx^2-10kx+bk=3x^2+5x+8\\ \\ \boxed{-10k=5 \rightarrow k=-\frac{1}{2}}\\ \\ ak=3\rightarrow -\frac{a}{2}=3\rightarrow a=-6\\ \\ bk=8 \rightarrow -\frac{b}{2}=8 \rightarrow b=-16\\ \\ \boxed{a+b=(-6)+(-16)=-22} \)

Temos que, \( f(x)=(a-1)x^2+bx+c \) e \( g(x)=2ax^2+2bx-c \).
Se \( f(x)=g(x) \), temos que:
\( (a-1)x^2+bx+c=2ax^2+2bx-c \)
Deste modo, \( a-1=2a \), ou seja, \( a=-1 \).
Além disso, \( b=2b \), isto é, \( b=0 \).
E, por fim, \( c=-c \). o que implica \( c=0 \).
2) Temos que \( \dfrac{3x^2-x-8}{ax^2-10x+b}=c \)
Assim, \( 3x^2-x-8=acx^2-10xc+bc \).
Deste modo, \( -10c=5 \), donde, \( c=-\dfrac{1}{2} \).
Logo, \( ac=3 \), ou seja, \( -\dfrac{a}{2}=3 \), portanto,
\( a=-6 \).
Analogamente, \( bk=9 \), ou seja, \( -\dfrac{b}{2}=8 \), donde, \( b=-16 \).
Logo, \( a+b=(-6)+(-16)=-22 \).



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