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O símbolo \( n! \) é usado para representar o produto dos números naturais de \( 1 \) a \( n \), isto é, n!=n(n-1)(n-2)\dots2\cdot1[/tex]. Por exemplo, \( 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24 \). Se \( n!=2^{15}\cdot3^{6}\cdot5^3\cdot7^2\cdot11\cdot13 \), qual é o valor de \( n \)?


RESOLVENDO

Como \( n!=2^{15}\cdot3^6\cdot5^3\cdot7^2\cdot11\cdot13 \), tem-se \( n\ge13 \).
Por outro lado:
\( 13!=13\cdot(2^2\cdot3)\cdot11\cdot(2\cdot5)\dots5\cdot2^2\cdot3\cdot2=13\cdot11\cdot7\cdot5^2\cdot3^5\cdot2^{10} \),
E, portanto, \( \dfrac{n!}{13!}=\dfrac{2^{15}\cdot3^6\cdot5^3\cdot7^2\cdot11\cdot13}{13\cdot11\cdot7\cdot5^2\cdot3^5\cdot2^{10}}=2^5\cdot3\cdot5\cdot7 \), 
ou seja, \( \dfrac{n!}{13!}=14\cdot15\cdot16 \).
Logo, \( n!=13!\cdot14\cdot15\cdot16=16! \), isto é, \( n=16 \).



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