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Um grupo de 10 pessoas. Quantas comissões de no mínimo 4 pessoas podem ser formadas, com as disponíveis?


RESOLVENDO

A ordem de aparição das pessoas na comissão não importa, logo usaremos combinações simples
\( \boxed{\boxed{\mathsf{C_{n, p}=\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}}}} \)
Observações:
\( \displaystyle\bullet\,\,\mathsf{C_{n,0}=\binom{n}{0}=\frac{n!}{0!(n-0)!}=\frac{n!}{1\cdot n!}=1}\\bullet\,\,\mathsf{C_{n,1}=\binom{n}{1}=\frac{n!}{1!(n-1)!}=\frac{n\cdot(n-1)!}{(n-1)!}=n} \)
_______________________
Como queremos comissões com no mínimo 4 pessoas, teremos
\( \bullet\,\,\mathsf{C_{10,4}~comiss\~oes~com~4~pessoas}\\bullet\,\,\mathsf{C_{10,5}~comiss\~oes~com~5~pessoas}\\bullet\,\,\mathsf{C_{10,6}~comiss\~oes~com~6~pessoas}\\vdots\\bullet\,\,\mathsf{C_{10,10}~comiss\~oes~com~10~pessoas} \)
Portanto, o número total de comissões com no mínimo 4 pessoas é
\( \mathsf{N=\displaystyle\sum_{k=4}^{10}C_{10, k}=\sum_{k=4}^{10}\binom{10}{k}}\\mathsf{N=\displaystyle\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}-\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}} \)
Usando que \( \mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{k}1^{n-k}=(1+1)^{n}=2^{n}} \), temos que
\( \displaystyle\mathsf{N=2^{10}-\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}}\\mathsf{N=1024-\bigg[\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{3}\bigg]}\\mathsf{N=1024-\bigg[1+10+\frac{10!}{2!8!}+\frac{10!}{3!7!}\bigg]}\\mathsf{N=1024-\bigg[11+\frac{10\cdot9}{2\cdot1}+\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}\bigg]}\\mathsf{N=1024-\big[11+45+120\big]}\\mathsf{N=1024-176}\\boxed{\boxed{\mathsf{N=848}}} \)



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