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Resolva:

A) Log 2 (x-3) + log 2(x-2)<1

B)Log 1/3 - log 1/9 (2-3x)<0



RESOLVENDO

AgenteRJ.

\( A)\ \log_2 (x-3) + \log_2(x-2)<1 \Rightarrow \log_2[(x-3)(x-2)]<1 \Rightarrow\\\\ 1> \log_2[(x-3)(x-2)] \Rightarrow \\\\ 2^1>(x-3)(x-2) \Rightarrow x^2-2x-3x+6<2 \Rightarrow\\\\ x^2-5x+4<0\\\\ \text{\underline{Ra\’izes do polin\^onomio}: }x=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm3}{2}=4\text{ ou }1 \Rightarrow\\\\ (x-4)(x-1)<0 \)

\( \text{\underline{An\’alise do sinal}: }\\\\.(-).1.(+).(+).\ \ (x-1)\\.(-).(-).4.(+).\ \ (x-4)\\.(+).1.(-).4.(+).\ \ (x-1)(x-4) \)

Portanto, a desigualdade é satisfeita quando:

\( (x-4)(x-1)<0\Rightarrow1< x<4 \)

Vamos verificar, agora, para quais valores de x não existe o logaritmo da inequação:

\( \begin{cases} x-3\leq0 \Rightarrow x\leq3 \\\\ x-2\leq0 \Rightarrow x\leq2 \end{cases} \)

O intervalo \( x\leq2 \) está contido no intervalo \( x\leq3 \).

Portanto, a solução da inequação é:

\( \boxed{S=\{x \in \mathbb{R}|3< x<4\}} \)

\( B)\ \log \frac13 - \log \frac19 (2-3x)<0 \Rightarrow 0>\log\frac{\frac13}{ \frac19 (2-3x)} \Rightarrow\\\\ 0>\log\frac{3}{(2-3x)} \Rightarrow \underbrace{10^0}_{=1}>\frac3{2-3x} \Rightarrow 2-3x > 3 \Rightarrow \underbrace{-3x > 1}_{\times(-1)} \Rightarrow\\\\ 3x<-1 \Rightarrow x<-\frac13 \)

Vamos verificar, agora, para quais valores de x não existe o logaritmo da inequação:

\( 2-3x\leq0\Rightarrow\underbrace{-3x\leq-2}_{\times(-1)}\Rightarrow3x\geq2\Rightarrow x\geq\frac23 \)

Este intervalo não está contido no intervalo de valores de x que satisfazem a inequação.

Portanto, a solução da inequação é:

\( \boxed{S=\left\{x \in \mathbb{R}|x<-\frac13\right\}} \)



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