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Uma fábrica
de confecções produziu, sob encomenda, 70 peças de roupas entre camisas, batas
e calças, sendo a quantidade de camisas igual ao dobro da quantidade de calças.
O número de bolsos em cada camisa, bata e calça é dois, três e quatro,
respectivamente, e o número total de bolsos nas peças é 200. Utilizando os
dados desse enunciado, desenvolva cada item a seguir:
a) Sendo x o número de camisas, y o número de batas e z o número de calças
confeccionadas na fábrica, apresente um sistema linear formado pelas três
equações, trabalhando com as variáveis indicadas.
b) Determine o número de camisas, batas e calças, resolvendo o sistema
apresentado no item (a) trabalhando com o método de Gauss.
c) Apresente o número total de bolsos utilizados nas camisas.
d) Apresente o número total de bolsos utilizados nas batas.
e) Apresente o número total de bolsos utilizados nas calças.


RESOLVENDO

A) Como há \( 70 \) cofecções no total, entre camisas, batas e calças, temos \( x+y+z=70 \)
Além disso, sabemos que, a quantidade de camisas é igual ao dobro da quantidade de calças, ou seja, \( x=2z \).
Por fim, cada camisa tem dois bolsos, cada bata tem três e cada calça possui quatro bolsos.
A quantidade total de bolsos é \( 200 \).
Com isso, \( 2x+3y+4z=200 \).
Deste modo, temos o seguinte sistema \( \begin{cases} x+y+z=70 \\ x=2z \\ 2x+3y+4z=200 \end{cases} \).
Como \( x+y+z=70 \) e \( x=2z \), temos \( 2z+y+z=70 \), isto é, \( 3z+y=70 \).
Do mesmo modo, sendo \( 2x+3y+4z=200 \) e \( x=2z \), segue que
 
\( 2\cdot2z+3y+4z=200 \) e obtemos \( 8z+3y=200 \).
Assim, encontramos um novo sistema: \( \begin{cases} 3z+y=70 \\ 8z+3y=200 \end{cases} \).
Da primeira equação, tiramos que, \( y=70-3z \). Substituindo na segunda, temos:
\( 8z+3(70-3z)=200~\Rightarrow~8z+210-9z=200~\Rightarrow~\boxed{z=10} \)
Logo, \( y=70-3\cdot10=70-30~\Rightarrow~\boxed{y=40} \).
E \( x=70-10-40~\Rightarrow~\boxed{x=20} \).
Portanto, há \( 20 \) camisas, \( 40 \) batas e \( 10 \) calças.
c) Temos \( 20 \) camisas e \( 2 \) bolsos em cada uma, totalizando \( 20\times2=40 \) bolsos.
d) Como há \( 40 \) batas e \( 3 \) bolsos cada bata, temos \( 40\times3=120 \) bolsos utilizados nas batas.
e) Por fim, o total de bolsos utilizamos nas calças é \( 10\times4=40 \), uma vez que, há \( 10 \) calças e quatro bolsos em cada uma.

Portanto, há 20 camisas, 40 batas e 10 calças.



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