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Análise Combinatória.
Uma equipe de dez pesquisadores é formada por sete brasileiros e três estrangeiros. Para apresentar um projeto a uma empresa, será necessário escolher cinco pesquisadores, dos quais no mínimo um deve ser estrangeiro. De quantas formas distintas poderá ser feita esta escolha?


RESOLVENDO

Primeiramente, temos que ter uma ideia do que se pede.
→ Cada grupo deve ter, no mínimo, um estrangeiro.
→ Cada grupo é composto por cinco pessoas.
Uma ideia é calcular o total de combinações, ou seja, uma de 10 elementos tomados cinco a cinco e subtrair desse valor uma combinação de 7 elem. tomados cinco a cinco.
Por que?
Com a primeira, teremos o valor total, e com o segundo, o valor que não considera os estrangeiros. Ao subtrairmos, teremos o procurado.
\( C_{10,5}=\dfrac{10!}{5!(10-5)!}=\dfrac{10*9*8*7*6*\not5!}{\not5!5*4*3*2}=252 \)
-
\( C_{7,5}=\dfrac{7!}{5!*2!}=\dfrac{7*6*5!}{5!*2}=21 \)
Agora subtraímos:
252 - 21 = 231 maneiras

, Quezia,
Precisamos escolher cinco pesquisadores e pelo menos um deles deve ser estrangeiro.
Temos a disposição sete brasileiros e três estrangeiros.
Vamos dividir o problema em três casos:
\( \rhd \) Escolhemos um estrangeiro e quatro brasileiros.
Nesta situação, temos \( 3 \) modos de escolher o estrangeiro e \( \dbinom{7}{4}=\dfrac{7!}{4!\cdot3!}=35 \) maneiras de escolher os brasileiros.
Logo, há \( 3\times35=105 \) modos de formar uma equipe com um estrangeiro e quatro brasileiros.
\( \rhd \) Escolhemos dois estrangeiros e três brasileiros.
Nesta situação, temos \( \dbinom{3}{2}=3 \) modos de escolher os estrangeiros e \( \dbinom{7}{3}=\dfrac{7!}{4!\cdot3!}=35 \) maneiras de escolher os brasileiros.
Logo, há \( 3\times35=105 \) modos de formar uma equipe com dois estrangeiro e três brasileiros.
\( \rhd \) Escolhemos os três estrangeiro e dois brasileiros.
Nesta situação, temos \( \dbinom{3}{3}=1 \) modo de escolher os estrangeiros e \( \dbinom{7}{2}=\dfrac{7!}{2!\cdot5!}=21 \) maneiras de escolher os brasileiros.
Logo, há \( 21\times1=21 \) modos de formar uma equipe com um estrangeiro e quatro brasileiros.
A resposta é \( 105+105+21=231 \) maneiras.



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