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1- Considere as placas de automóveis formadas por 3 letras e 4 algarismos, como no exemplo:
BBE 4465
Quantas placas diferentes podemos formar comas letras E, F, G e h, e com os algarismos 5, 6,7, 8 e 9, sem repetir as letras nem os números?
a) 40000
b) 2880
c) 240
d) 32
e) 20
2- Um atleta resolveu correr por 20 dias e a cada dia fez 400 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo que, no final dos 20 dias ele percorreu um total de 116 km. O número de km que ele correu no último dia é:
a) 2
b) 8
c) 7,6
d) 9,6
e) 116
A resposta da primeira é B e a da segunda é D.


RESOLVENDO

1. 
Número de letras que se podem usar: 4 
Estas 4 letras podem tomar 4 posições diferentes sem nunca se repetirem: 
4 x 3 x 2  = 24 hipóteses possíveis 
Número de algarismos disponíveis: 5. Estes podem ocupar 4 lugares sem nunca se repetirem: 5x4x3x2 = 120 hipóteses.  
Ora o código:
LETRA LETRA LETRA NÚMERO NÚMERO NÚMERO NÚMERO 
4 X   3  X 2  X   5 X   4 X   3 X   2 = 2880 Hipóteses.  
HIPÓTESE B!
2. (Estou a pensar)
x+x+400+x+400x2+x+400x3+x+400x4. x+400x20 = 20x + 76000
Agora você descobre o valor percorrido no primeiro dia através dos 11,6 km=116000 metors 
20x + 76000 = 116000 <=> x = 2000 metros percorridos no primeiro dia 

, Rodrigo
1) Queremos formar placas com as letras \( E \), \( F \), \( G \) e \( H \) e com os algarismos \( 5,6,7,8 \) e \( 9 \) sem repetir as letras nem os números.
Além disso, as placas são formadas por \( 3 \) letras e \( 4 \) algarismos.
Observe que, nesta situação a ordem de escolha das letras como dos números é importante; isso porque a placa \( EFG567 \) é diferente da placa \( EGF567 \).
Vamos calcular de quantos modos podemos escolher as letras e após isso, de quantas maneiras podemos escolher os números.
Queremos escolher três letras entre \( E, F, G \) e \( H \). Para a primeira letra, temos \( 4 \) possibilidades.
Já para a segunda, há apenas \( 3 \) modos de escolha, pois não pode ser igual a primeira.
E, por fim, temos \( 2 \) maneiras de escolher a terceira letra. No total, há 
\( 4\times3\times2=24 \) modos de escolher as letras de uma placa.
Agora vamos fazer o mesmo com os algarismos: queremos escolher quatro algarismos entre \( 5,6,7,8 \) e \( 9 \).
Prosseguindo como antes, temos \( 5 \) modos de escolher o primeiro algarismo, \( 4 \) modos de escolher o segundo, \( 3 \) para o terceiro e apenas \( 2 \) modos para a escolha do quarto algarismo.  
Assim, há \( 5\times4\times3\times2=120 \) maneiras de escolher os algarismos de uma placa.
Pelo princípio da contagem, podemos formar \( 24\times120=2~880 \) placas  distintas, seguindo as orientações do enunciado.
\( \text{Alternativa B} \)
2) Vamos chamar de \( k \) a distância, em metros, percorrida pelo atleta no primeiro dia.
Assim, no segundo dia ele percorreu \( k+400 \)  metros.
Pelo enunciado, no final dos \( 20 \) dias ele percorreu \( 116~\text{km} \), isto é, \( 116~000 \) metros.
Como a cada dia esse atleta fez \( 400 \) metros a mais que o dia anterior, no vigésimo dia ele percorreu \( k+19\cdot400=k+7~600 \) metros.
Deste modo:
\( k+(k+400)+(k+800)+(k+1~200)+\dots+(k+7~600)=116~000 \)
Observe que, os números \( 400,800,1~200,\dots,7~600 \) formam uma \( PA \) de \( 19 \) termos, onde \( a_1=400 \), \( r=400 \) e \( a_n=7~600 \).
A soma dos \( n \) primeiros termos de uma \( PA \) é dada por
\( S=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2} \).
Logo, a soma \( 400+800+1~200+\dots+7~600 \) vale:
 
\( 400+800+1~200+\dots+7~600=\dfrac{(400+7~600)\cdot19}{2}=76~000 \).
Com isso, como
\( k+(k+400)+(k+800)+(k+1~200)+\dots+(k+7~600)=116~000 \), temos:
 
\( (k+k+k+\dots+k)+76~000=116~000 \).
Logo,
\( 20k=116~000-76~000~~\Rightarrow~~20k=40~000~~\Rightarrow~~\boxed{k=2~000} \).
Portanto, o atleta percorreu \( 2~000 \) metros no primeiro dia.
 
Com isso, no último dia ele percorreu \( 2~000+7~600=9~600 \) metros, isto é, \( 9,6~\text{km} \).
\( \text{Alternativa D} \)

Meu cérebro explodiu. No primeiro dia sei que ele percorreu 1600 metros.

x+x+400+x+400x2+x+400x3+x+400x4. x+400x20 = 20x + 84000

Vc sabe que a soma de toda a distância é 116400 metros. Logo descobre x = 1600 metros.

só não entendi essa ultima conta para dar 2000



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