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Mais uma questão, ainda sobre funções.



RESOLVENDO

Dan.

\( (a)\ (i)\ D(f\circ f)=\{x\in\mathbb{R}|\frac{1}{x+1}\neq -1\}=\{x\in\mathbb{R}|1\neq -x-1\}=\\\\=\boxed{\{x\in\mathbb{R}|x\neq -2, x\neq-1\}=\mathbb{R}-\{-2,1\}} \)

\( f\circ f(x)=\frac1{1+\frac{1}{1+x}}=\frac{1}{\frac{1+x+1}{1+x}}\Rightarrow\boxed{f(x)=\frac{1+x}{2+x}} \)

\( (b)\ \frac1{1+x}\neq0\ (\forall x\in\mathbb{R}\text{ satisfaz, desde que }x\neq-1)\\\\ \frac{1}{1+x} \neq 1 \Rightarrow 1\neq1+x\Rightarrow x\neq0, x\neq-1\\\\ \frac{1}{1+x} \neq 2 \Rightarrow 1\neq2+2x\Rightarrow 2x\neq-1 \Rightarrow x\neq-\frac12, x\neq-1\\\\ \therefore \boxed{D(g\circ f)=\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq0, x\neq-\frac12, x\neq-1\right\}=\mathbb{R}-\left\{0,\frac12,1\right\}} \)

\( (c) \) O domínio \( A\bigcap B \) satisfaz tanto a função \( f \) quanto a função \( g, \) pois:

\( x\in A\bigcap B \Rightarrow \begin{cases}x\in A \Rightarrow x\in D(f)\\x\in B \Rightarrow x\in D(g) \end{cases} \Rightarrow x\in D(f) \bigcap D(g) \Rightarrow \)

f + g e f. g estão bem definidas

\( D(f+g)=D(f\cdot g)=(\mathbb{R}-\{-1\}) \bigcap\ (\mathbb{R}-\{0,1,2\}) \Rightarrow \\\\ \boxed{D(f+g)=D(f\cdot g)=\mathbb{R}-\{-1,0,1,2\}} \)



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