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1) Explique porque ao dividirmos qualquer número inteiro x por 4 nunca obtemos uma dízima periódica.
2) Quando dividimos um número inteiro y por 3 pode ser que o resultado seja uma dízima periódica. Em que casos o resultado é uma dízima periódica e em que casos não é? Justifique ambos.


RESOLVENDO

Dado um inteiro \( n \), temos quatro possibilidades quando o dividimos por quatro.
O resto pode ser zero, um, dois ou três.
Em outras palavras, qualquer inteiro \( n \) pode ser escrito em uma das formas, \( 4k \), \( 4k+1 \), \( 4k+2 \) ou \( 4k+3 \).
É claro que, \( 4k \) ao ser dividido por quatro não resulta numa dízima periódica, porque o resto da divisão é zero.
Já \( 4k+1 \) dividido por quatro resulta em \( \dfrac{4k+1}{4}=\dfrac{4k}{4}+\dfrac{1}{4}=k+0,25 \).
Que também não é uma dízima.
Agora \( 4k+2 \) ao ser dividido por quatro resulta em \( \dfrac{4k+2}{4}=k+\dfrac{2}{4}=k+0,5 \)
Que também não é uma dízima.
Por fim, quando dividimos um número da forma \( 4k+3 \) por quatro, obtemos \( k+\dfrac{3}{4}=k+0,75 \).
Que também não é uma dízima.
Pronto, provamos que, qualquer que seja o número inteiro \( x \), quando o dividimos por \( 4 \) não obtemos uma dízima periódica.
2) Prosseguindo como antes, dado um inteiro \( x \) temos três possibilidades quanto ao resto da divisão de \( x \) por \( 3 \).
Se o resto for \( 0 \), \( x \) é da forma \( 3k \).
E é claro que \( x \) dividido por \( 3 \) não resulta numa dízima.
Se o resto for \( 1 \), temos \( x=3k+1 \).
Veja que, \( \dfrac{3k+1}{3}=\dfrac{3k}{3}+\dfrac{1}{3}=k+\dfrac{1}{3} \).
Note que, \( \dfrac{1}{3} \) é uma dízima periódica.
Assim, se \( x \) deixa resto \( 1 \) quando dividido por \( 3 \), obtemos uma dízima periódica quando dividimos \( x \) por \( 3 \).
Se \( x \) deixa resto \( 2 \), teremos \( x=3k+2 \) e
\( \dfrac{3k+2}{3}=\dfrac{3k}{3}+\dfrac{2}{3}=k+\dfrac{2}{3} \)
Como \( \dfrac{2}{3} \) é uma dízima, se \( x \) deixa resto dois quando dividido por três, o resultado da divisão de x por 3 é uma dízima periódica.
Contudo, o resultado é uma dízima periódica quando x deixa resto 1 ou 2 quando dividido por 3.
, beijos



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