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Logaritmos
Gente, como eu faço para somar logaritmos com bases diferentes:
este aqui:
\( log _2 x + log_4x = 5/4 \)
a resposta é \( \sqrt{2} \)


RESOLVENDO

Você tem que igualar as bases, utilizando das propriedades logarítmicas (mudança de base)
Mudança de base (b para c):
\( log_{b}(x)=\dfrac{log_{c}(x)}{log_{c}(b)} \)
_______________________
\( log_{2}(x)+log_{4}(x)=5/4 \)
Vamos mudar a base de log de x na base 2 para 4:
\( \dfrac{log_{4}(x)}{log_{4}(2)}+log_{4}(x)=\dfrac{5}{4}\\dfrac{log_{4}(x)}{\left(\frac{1}{2}\right)}+log_{4}(x)=\dfrac{5}{4}\\2log_{4}(x)+log_{4}(x)=\dfrac{5}{4}\\log_{4}(x^{2})+log_{4}(x)=\dfrac{5}{4}\\log_{4}(x^{2}\cdot x)=\dfrac{5}{4}\\log_{4}(x^{3})=\dfrac{5}{4} \)
Aplicando a definição de logaritmos:
\( 4^{\frac{5}{4}}=x^{3}\\(2^{2})^{\frac{5}{4}}=x^{3}\\2^{\frac{5}{2}}=x^{3} \)
Multiplicando os expoentes dos 2 lados por 1/3:
\( 2^{\frac{5}{2}*\frac{1}{3}}=x^{3*\frac{1}{3}}\\2^{\frac{5}{6}}=x^{1}\\boxed{\boxed{x=\sqrt[6]{2^{5}}}} \)
Se preferir:
\( \boxed{\boxed{x=\sqrt[6]{32}}} \)
O gabarito está errado



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