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Sejam U e W subespaços de ℝ4, dim U = 3 e dim W = 3. Se {(1, 2, 1, 0), (-1, 1, 0, 1), (1, 5, 2, 1)} é um sistema de geradores de U ∩ W, assinale a alternativacorreta:

A) {(1, 2, 1, 0), (-1, 1, 0, 1), (1, 5, 2, 1)} é uma base de U ∩ W

B) dim (U ∩ W) = 3

C) dim (U + W) = 3

D) dim (U + W) = 6

E) dim (U + W) = 4



RESOLVENDO

Leidy Braga.
A)VERDADEIRO.
Sejam \( \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 \in \mathbb{R} \) tais que:

\( \lambda_1 (1,2,1,0) + \lambda_2(1,1,0,1) + \lambda_3(1,5,2,1)=0 \Rightarrow \\\\ \begin{cases} \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3=0\ (1) \\ 2\lambda_1 - \lambda_2 + 5\lambda_3=0\ (2) \\ \lambda_1 + 2\lambda_3=0\ (3) \\ \lambda_2 + \lambda_3=0\ (4) \end{cases} \)

Substituindo (4) em (1) temos: \( \lambda_1=0 \)

Substituindo este último resultado em (3) temos: \( \lambda_3=0 \)

Substituindo este último resultado em (4) temos: \( \lambda_2=0 \)
Como \( \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0, \) então {(1,2,1,0),(1,1,0,1),(1,5,2,1)} é um conjunto de vetores LI.

Como o enunciado diz que este conjunto de vetores gera U ∩ W e os vetores são LI, então este conjunto de vetores é uma base para U ∩ W.

B) VERDADEIRO.

U ∩ W é o conjunto dos vetores \( v \) tais que \( v\in U \) e \( v\in W. \)

Como \( \text{dim}(U)=\text{dim}(W)=3, v\in U, v\in W, \) e \( v\in U\bigcap W, \) temos, então, que \( \text{dim}(U\bigcap W)=3 \)


C) VERDADEIRO.

U + W é o conjunto dos vetores \( v \) tais que:

\( v=u+w, u=(u_1, u_2, u_3)\in U, w=(w_1, w_2, w_3)\in W \Rightarrow \\\\ v=(u_1+w_1, u_2+w_2, u_3+w_3) \)

Como \( v = u + w \) tem 3 coordenadas, então \( \text{dim}(U+W)=3 \)

D) FALSO. Explicado na letra "C".


E) FALSO. Explicado na letra "C".



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