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Seja f(x)=2x²+5x+3, encontre x se f-¹(x)=1, preciso que seja respondida com urgência,


RESOLVENDO

Primeira coisa quando você quer achar a inversa é ver se ela é bijetora, caso não seja, você tem que restringir o domínio da inversa.
Como é uma parábola, você sabe que o x do vértice separa a parábola como um espelho de um lado e do outro.
Então você tem que achar o x do vértice então ele será o início do domínio da inversa.
\( \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-5}{4}\\ \left[x \in \mathbb{R}~ | x \geq \dfrac{-5}{4}\right] \)
Com o domínio da nossa função inversa, agora precisamos calcular a inversa.
Troque o lugar de x com y, e isole o y.
\( 2y^2+5y+3=x\\ 2y^2+5y+3-x=0\\ \Delta = (-5)^2-4*2*(3-x)\\ \Delta = 25-24+8x\\ \Delta=1+8x\\ y=\dfrac{-5\pm\sqrt{1+8x}}{4} \)
\( y’=\dfrac{-5+\sqrt{1+8x}}{4}\\ y’’=\dfrac{-5-\sqrt{1+8x}}{4} \)
Agora vamos analisar.
Sabemos que da raiz não sai número negativo, logo o y’’ não pode ser pois irá quebrar a condição de existência da inversa que calculamos usando o vértice. Ele tem que ser maior que -5/4, a única que pode satisfazer essa condição é o y’.
E agora o y já está isolado e já achamos a inversa, agora só calcular o que a questão pediu : D.
\( f^{-1}(x)= \dfrac{-5\sqrt{1+8x}}{4}\\1= \dfrac{-5\sqrt{1+8x}}{4}\\(5+4)=\sqrt{1+8x}\\9^2-1=8x\\boxed{x = 10} \)



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