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Pode os ângulos internos e externos de um polígono regular apresentar medidas iguais? Em que caso isso ocorre?


RESOLVENDO

O ângulo interno de um polígono regular de \( n \) lados mede \( \dfrac{(n-2)\cdot180}{n} \).
Já o ângulo externo de um polígono regular de \( n \) lados mede \( \dfrac{360}{n} \). Assim, devemos ter:
\( \dfrac{(n-2)\cdot180}{n}=\dfrac{360}{n} \)
\( (n-2)\cdot180=360 \)
\( n-2=2 \)
\( n=4 \)
Ocorre somente no polígono regular de 4 lados, o quadrado.

Veja que um polígono de n lados pode ser decomposto em n-2 triângulos.
como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos que a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dado por 180°(n-2)
Se o polígono for regular, cada um de seus ângulos internos medirá:
\( a_i=\frac{180(n-2)}{n} \)
Sabe-se que o ângulo externo é o suplemento do ângulo interno, ou seja:
\( a_e=180-\frac{180(n-2)}{n}\\ \\ a_e=\frac{180n-180n+360}{n}=\frac{360^o}{n}\\ \ \)
Se algum polígono os ângulos internos e externos tem a mesma medida, teremos:
\( a_i=a_e\\ \\ \frac{180(n-2)}{n}=\frac{360}{n}\\ \\ 180n-360=360\\ \\ 180n=720\\ \\ n=\frac{720}{180}\\ \\ n=4 \)
O polígono regular de 4 lados é o quadrado.



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