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A diagonal de um paralelepípedo retângulo mede 5√21cm, e suas dimensões são expressas por x, x+3 e x+6. Calcule a área total.


RESOLVENDO

Sendo a, b e c as medidas das arestas do paralelepípedo retãngulo, sua diagonal é calculada pela fórmula:
\( D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\ \\ \sqrt{x^2+(x+3)^2+(x+6)^2}=5\sqrt{21}\\ \\ \sqrt{x^2+(x+3)^2+(x+6)^2}=\sqrt{525}\\ \\ x^2+(x+3)^2+(x+6)^2=525\\ \\ x^2+x^2+6x+9+x^2+12x+36-525=0\\ \\ 3x^2+18x-480=0\\ \\ S=\{-16,10\} \)
Porém somente podemos considerar o valor positivo:
As arestas do sólido medem:   10, 13 e 16
A área total é dada por: 2(10x13+10x16+13x16) = 996 u²

Pelo enunciado, temos que:
\( \sqrt{x^2+(x+3)^2+(x+6)^2}=5\sqrt{21} \)
Elevando os dois lados ao quadrado:
\( x^2+(x+3)^2+(x+6)^2=25\cdot21 \)
\( x^2+x^2+6x+9+x^2+12x+36=525 \)
\( 3x^2+18x-480=0 \)
\( x^2+6x-160=0 \)
\( \Delta=6^2-4\cdot1\cdot(-160)=36+640=676 \)
\( x=\dfrac{-6\pm\sqrt{676}}{2}=\dfrac{-6\pm26}{2}=-3\pm13 \)
\( x=-3+13=10 \) ou \( x=-3-13=-16 \) (não satisfaz)
As dimensões desse paralelepípedo são 10, 13 e 16. A sua área total é
\( 2\cdot(10\cdot13+10\cdot16+13\cdot16)=2\cdot(130+160+208)=2\cdot498=996 \) unidades de área.



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