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Usando aplicações de derivada resolva:
"Custa para uma empresa \( c \) dólares manufaturar e distribuir cada mochila. Se as mochilas são vendidas a dólares \( x \) dólares cada, o número de unidades vendidas é dado por \( n = a/(x-c) + b(100 -x) \) onde a e b são constantes positivas. Qual preço de venda trará lucro máximo?"


RESOLVENDO

Adam.
Receita = \( nx \)
Custo = \( nc \)
Lucro = Receita - Custo = \( nx-nc=n(x-c) \)
Portanto, o Lucro L(x) é dado por:
\( L(x)=n(x-c)=[\frac{a}{x-c}+b(100-x)](x-c)=\\\\=a+(100b-bx)(x-c)=\\\\ =a+100bx-100bc-bx^2+bcx=\\\\ =a-100bc+b(100+c)x-bx^2 \)
A função L(x) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo uma vez que o termo que acompanha x² é negativo (igual a -b ).
Portanto, no ponto onde a derivada de L(x) se anula, o lucro é máximo.
Assim:
\( \frac{dL}{dx}=0 \Leftrightarrow b(100+c)-2bx=0 \Leftrightarrow 2bx=b(100+c) \Leftrightarrow \\\\ 2x=100+c \Leftrightarrow x=\frac12(100+c) \Leftrightarrow \boxed{x=50+\frac{c}2} \)
Este valor de x que anula a derivada de L(x) é, portanto, o preço que maximiza o lucro.



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