«
  
»
Dados dois números naturais m e n, tais que m. n=720, mdc(m, n)=6 e mdc(n,20)=4, pode-se afirmar que m+n é igual a
a)36
b)54
c)72
d)90
e)126
Obs: obviamente que é B, eu quero saber pq que é B, pq tem uns engraçadinhos.


RESOLVENDO

Thassi.
Como \( mn=720=2^4\cdot3^2\cdot5, \) podemos escrever \( m \) e \( n \) como um produto de potências de 2, 3 e 5:
\( \begin{cases} m=2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3}, k_1, k_2, k_3\in\mathbb{N}\\\ n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6}, k_4, k_5, k_6\in\mathbb{N}\end{cases} \)
Como \( mn=720, \) temos que:
\( 2^{k_1+k_4}\cdot3^{k_2+k_5}\cdot5^{k_3+k_6}=2^4\cdot3^2\cdot5 \Rightarrow \\\\ \begin{cases} k_1+k_4=4\\ k_2+k_5=2\\ k_3+k_6=1 \end{cases} \)
Por outro lado, como \( \text{mdc}(m, n)=6, \) temos que:
\( \text{mdc}(2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3},2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6})=6=2^1\cdot3^1\cdot5^0 \Rightarrow \\\\ \begin{cases} \text{min}(k_1, k_4)=1\\ \text{min}(k_2, k_5)=1\\ \text{min}(k_3, k_6)=0 \end{cases} \)
De \( k_2+k_5=2 \) e \( \text{min}(k_2, k_5)=1, \) obtemos que:
\( \boxed{k_2=k_5=1} \)
Como \( \text{mdc}(n,20)=4, \) temos que \( n \) é múltiplo de 4.
Ou seja, \( n \) é múltiplo de \( 2^2. \)
Como \( n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6}, \) então \( k_4\geq2. \)
Como \( \text{min}(k_1, k_4)=1, \) então \( \boxed{k_1=1}. \)
Como \( k_1+k_4=4, \) então \( \boxed{k_4=3}. \)
Portanto:
\( \begin{cases} m=2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3}=2^1\cdot3^1\cdot5^{k_3}=6\cdot5^{k_3} \\ n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6}=2^3\cdot3^1\cdot5^{k_6}=24\cdot5^{k_6} \end{cases} \)
Há, assim, duas respostas possíveis:
\( \begin{cases} \text{. Se }k_3=0\text{ e }k_6=1: \begin{cases} m=6\cdot5^0=6\\ n=24\cdot5^1=120 \end{cases} \Rightarrow \boxed{m+n=126} \\\\ \text{. Se }k_3=1\text{ e }k_6=0: \begin{cases} m=6\cdot5^1=30\\ n=24\cdot5^0=24 \end{cases} \Rightarrow \boxed{m+n=54} \end{cases} \)
Como \( \text{mdc}(120,20)=20\neq4\text{ e }\text{mdc}(24,20)=4, \) então a única resposta possível é \( n=24 \) e \( m=30, \) ou seja:
\( \boxed{m+n=54} \)
Resposta: letra "b".



O que achou desse conteúdo? Deixe seu comentário
TAREFAS SIMILARES: