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os numeros diagonais de um poligono convexo pode ser calculado pela formula d= n. (n-3/2) os numeros diagonais de um poligono convexo pode ser calculado pela formula \( d= n\cdot(\frac{n-3}{2})\) qual e o poligono cujo numero de diagonais e 54



RESOLVENDO

Aplicando-se a fórmula:

\( 54=\frac{n(n-3)}{2}\rightarrow108=n^2-3n\rightarrow n^2-3n-108=0 \)

Resolvendo-se a equação:

\( \Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-108)=9+432=441 \)

\( n=\frac{3+\sqrt{441}}{2}=\frac{3+21}{2}=12 \)

O número de diagonais de um polígono de \( \text{n} \) lados é dado por:

\( \text{Diagonais}=\dfrac{\text{n}\cdot(\text{n}-3)}{2} \)

Desta maneira, se um polígono possui \( 54 \) diagonais, temos:

\( \dfrac{\text{n}\cdot(\text{n}-3)}{2}=54 \)

\( \text{n}\cdot(\text{n}-3)=108 \)

\( \text{n}^2-3\text{n}-108=0 \)

Logo:

\( \text{n}=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-108)}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm21}{2} \)

Como \( \text{n}\in\mathbb{N}^* \), segue que:

\( \text{n}=\dfrac{3+21}{2}=\dfrac{24}{2}=12 \)

Portanto, o polígono que possui \( 54 \) diagonais é o dodecágono.



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